使用3个纬度和经度点以及3个距离进行三角测量

2018-06-04 13:55:08

存在未知的目标位置（经度和纬度坐标）。我有3个经纬度坐标对，每对距离目标位置的千米距离。我如何计算目标位置的坐标？

例如，假设我有以下数据点

37.418436,-121.963477   0.265710701754km
37.417243,-121.961889   0.234592423446km
37.418692,-121.960194   0.0548954278262km

我想要的是将输入作为输出并返回37.417959,-121.961954作为输出的函数的内容是什么样的？

我知道如何计算两点之间的距离，从http://www.movable-type.co.uk/scripts/latlong.html我了解一般原则，即用三个圆圈恰好得到一个重叠点。我朦胧的是用这个输入来计算这个点所需的数学。

维基百科在这里对代数进行了非常全面的讨论：http：//en.wikipedia.org/wiki/Trilateration

维基百科条目中未涉及的第一步是将经纬度坐标转换为笛卡尔坐标：

x0 = cos( lon0 ) * cos( lat0 ) , y0 = sin( lon0 ) * cos( lat0 ) , z0 = sin( lat0 )
x1 = cos( lon1 ) * cos( lat0 ) , y1 = sin( lon1 ) * cos( lat1 ) , z1 = sin( lat1 )
x2 = cos( lon2 ) * cos( lat0 ) , y2 = sin( lon2 ) * cos( lat2 ) , z2 = sin( lat2 )

（为了保持简单的计算，我已经把事情搞砸了，所以我们要以“地球半径”而不是公里为单位）

为了您的数据，我得到了

         p0            p1           p2
X   -0.420442596  -0.420430618  -0.42040255
Y   -0.67380418   -0.673826567  -0.673825967
Z    0.607631426   0.607614889   0.607634975

维基百科文章中介绍的下一步是简化坐标，通过平移点使p0位于原点，然后旋转，使得p1位于X轴上，而p2位于XY平面中。

对于翻译，只需从p1和p2中减去p0：

    p0a      p1a          p2a
X   0    1.19779E-05   4.00462E-05
Y   0   -2.23864E-05  -2.17865E-05
Z   0   -1.65372E-05   3.5486E-06

轮换并不困难。 p1b得到（x，y）=（d，0），其中d只是从原点到p1a的距离（毕达哥拉斯定理）

对于p2b，我们需要将p2a分解为两个分量：一个平行于p1a（它在我们的x轴上），另一个垂直于p1a（它在我们的y轴上的“b”坐标系中）。

要做到这一点，我们需要一个p1a方向的单位矢量，它只是p1a *（1 / d）。把这个单位向量的点积（称为p1a_hat，如果你喜欢的话）和p2a一起，这就是p2b的X坐标。维基百科文章称这个值为“我”

现在Y坐标很容易。在坐标变换下，从原点到p2的长度不能改变。因此，使用毕达哥拉斯定理计算p2a的长度，然后使用毕达哥拉斯定理“向后”得到p2b的Y坐标必须保持长度相同。这是维基百科称为“J”的变量。（请注意，我会留给你弄清楚J是正面还是负面）。

现在，您已经获得了维基百科文章用于计算的三个变量d，I和J。你现在可以将它们转换回公里，乘以地球的半径。你应该能够从这里做剩下的计算

（顺便说一句，维基百科为坐标变换提供了不同的计算方法，我希望尽可能避免触发）。

我在新成立的GIS Stack Exchange上问了这个问题，并在那里得到了一些很好的答案。

https://gis.stackexchange.com/questions/66/trilateration-using-3-latitude-and-longitude-points-and-3-distances

接受的答案在Python中有一个（可能的）工作解决方案：

https://gis.stackexchange.com/questions/66/trilateration-using-3-latitude-and-longitude-points-and-3-distances/415#415

在Paul Bourke几何页面上

两个圆的交集

链接地址: http://www.djcxy.com/p/14861.html

上一篇: Trilateration using 3 latitude and longitude points, and 3 distances

下一篇: Why can't schedule() be called directly from a hardware interrupt?