为什么更改总和顺序会返回不同的结果？
为什么更改总和顺序会返回不同的结果？
23.53 + 5.88 + 17.64 = 47.05
23.53 + 17.64 + 5.88 = 47.050000000000004
Java和JavaScript都返回相同的结果。
我明白，由于浮点数的方式是用二进制表示的，所以有些有理数（比如1/3 - 0.333333 ...）不能精确表示。
为什么简单地改变元素的顺序会影响结果？
也许这个问题很愚蠢，但为什么简单地改变元素的顺序会影响结果呢？
它会根据数值的大小改变数值四舍五入的点。 作为我们看到的那种事情的一个例子，让我们假装代替二进制浮点，我们使用了一个有四位有效数字的十进制浮点类型，其中每个加法以“无限”精度执行，然后舍入为最接近的可表示数字。 这里有两个总和：
1/3 + 2/3 + 2/3 = (0.3333 + 0.6667) + 0.6667
= 1.000 + 0.6667 (no rounding needed!)
= 1.667 (where 1.6667 is rounded to 1.667)
2/3 + 2/3 + 1/3 = (0.6667 + 0.6667) + 0.3333
= 1.333 + 0.3333 (where 1.3334 is rounded to 1.333)
= 1.666 (where 1.6663 is rounded to 1.666)
我们甚至不需要非整数就成为一个问题：
10000 + 1 - 10000 = (10000 + 1) - 10000
= 10000 - 10000 (where 10001 is rounded to 10000)
= 0
10000 - 10000 + 1 = (10000 - 10000) + 1
= 0 + 1
= 1
这可能更清楚地表明，重要的部分是我们有有限的有效位数 - 不是有限的小数位数。 如果我们可以始终保持相同的小数位数，那么至少在加减的情况下，我们会没事的（只要这些值没有溢出）。 问题在于，当你获得更大的数字时，更小的信息会丢失 - 在这种情况下，10001被舍入到10000。 （这是Eric Lippert在他的回答中提到的问题的一个例子。）
值得注意的是，右侧第一行的值在所有情况下都是相同的 - 因此，虽然了解十进制数（23.53,5.88,17.64）不会完全表示为double精度值很重要，由于上述问题，这只是一个问题。
这是二进制发生了什么。 正如我们所知，一些浮点值不能完全用二进制表示，即使它们可以完全用十进制表示。 这3个数字就是这个事实的例子。
通过这个程序，我输出每个数字的十六进制表示和每个加法的结果。
public class Main{
public static void main(String args[]) {
double x = 23.53; // Inexact representation
double y = 5.88; // Inexact representation
double z = 17.64; // Inexact representation
double s = 47.05; // What math tells us the sum should be; still inexact
printValueAndInHex(x);
printValueAndInHex(y);
printValueAndInHex(z);
printValueAndInHex(s);
System.out.println("--------");
double t1 = x + y;
printValueAndInHex(t1);
t1 = t1 + z;
printValueAndInHex(t1);
System.out.println("--------");
double t2 = x + z;
printValueAndInHex(t2);
t2 = t2 + y;
printValueAndInHex(t2);
}
private static void printValueAndInHex(double d)
{
System.out.println(Long.toHexString(Double.doubleToLongBits(d)) + ": " + d);
}
}
printValueAndInHex方法只是一个十六进制打印机助手。
输出如下：
403787ae147ae148: 23.53
4017851eb851eb85: 5.88
4031a3d70a3d70a4: 17.64
4047866666666666: 47.05
--------
403d68f5c28f5c29: 29.41
4047866666666666: 47.05
--------
404495c28f5c28f6: 41.17
4047866666666667: 47.050000000000004
前4个数字是x ， y ， z和s的十六进制表示。 在IEEE浮点表示中，位2-12表示二进制指数，即数字的比例。 （第一位是符号位，尾数其余位）。所表示的指数实际上是二进制数减去1023。
前4个数字的指数被提取：
sign|exponent
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
401 => 0|100 0000 0001| => 1025 - 1023 = 2
403 => 0|100 0000 0011| => 1027 - 1023 = 4
404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5
第一组增加
第二个数字（ y ）幅度较小。 当将这两个数字相加以得到x + y ，第二个数字（ 01 ）的最后2位移出范围并且不计入计算。
第二个加法是添加x + y和z并添加两个相同比例的数字。
第二组添加
这里， x + z首先出现。 它们具有相同的规模，但是它们产生的规模更高：
404 => 0|100 0000 0100| => 1028 - 1023 = 5
第二个加法增加了x + z和y ，现在3个比特从y中删除以添加数字（ 101 ）。 这里，必须有一个圆形向上，因为结果是下一个浮点数起来： 4047866666666666对于首套增加的对4047866666666667第二组补充的。 该错误足以显示总数的打印结果。
总之，在对IEEE数字进行数学运算时要小心。 一些表述是不精确的，当尺度不同时它们变得更加不精确。 如果可以的话，加减相似比例的数字。
乔恩的答案当然是正确的。 在你的情况下，错误不会大于你要做任何简单的浮点运算所积累的错误。 你有一种情况，在一种情况下，你得到零误差，而在另一种情况下，你会得到一个小错误; 这实际上并不是那种有趣的场景。 一个很好的问题是： 是否有改变计算顺序的情景从一个微小的错误变成一个（相对）巨大的错误？ 答案毫无疑问是肯定的。
考虑例如：
x1 = (a - b) + (c - d) + (e - f) + (g - h);
VS
x2 = (a + c + e + g) - (b + d + f + h);
VS
x3 = a - b + c - d + e - f + g - h;
显然，在精确的算术中它们将是相同的。 试图找出a，b，c，d，e，f，g，h的值，使得x1和x2和x3的值相差很大是有趣的。 看看你是否可以这样做！
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