浮动时舍入错误

 

IEEE-754浮点算法有几种舍入模式：

  • 舍入到最近：RN（x）是最接近x的浮点数。
  • 向下舍入：RD（x）是小于或等于x的最大浮点数。
  • 向上取整：RD（x）是大于或等于x的最小浮点数。
  • 向零舍入：RZ（x）是与x最接近的浮点数，幅度不大于x，

    • 如果在向上舍入时执行一些计算时会获得较大的绝对舍入误差（接近理论界限），那么这是否意味着如果使用四舍五入来执行相同的计算，则误差会很小？

    我想澄清我的问题：

    假设我们需要用带浮点边界的区间运算来近似x的值，即计算a和b以使a <= x <= b。

    例如，假设x = x1 + x2 + ... + xn，其中x1，x2，...，xn是有限正浮点数。

  • 首先，通过舍入来计算a：a = RD（x1 + x2 + ... + xn）。
  • 然后，通过四舍五入来计算b：b = RU（x1 + x2 + ... + xn）。

    • 接下来，假设我们知道这一点

    x - a <= EPS，

    还有那个

    b - x <= EPS，

    其中x是确切的总和。

    哪一个上限对[a，b]区间的长度有效：ba <= EPS或ba <= 2 EPS？

    是。

    假设精确的数学结果x落在两个有限的可表示值a和b之间，其中a <b。 错误的最小上界是b-a。 让e是四舍五入时的误差（因此e是b-x），并且让它接近b-a。 那么当向下舍入时的误差是b-a-e，所以它相对于b-a很小。

    如果a和b不是有限的，则：

  • b是+∞，四舍五入时的误差是无限的，而四舍五入时的误差是有限的，因此相对较小，或
  • a是-∞，四舍五入时的误差是有限的，而四舍五入时的误差是无限的。

    • 在最后一种情况下，四舍五入时的误差在您定义的意义上不会很大，因为它必须是有限的，因此在这种情况下无法接近理论界限，即∞。 所以在这段时间内没有符合你的前提条件的结果。

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