Applicative / Monad实例在多大程度上唯一确定？
如所描述的这个问题/答案， Functor实例是唯一确定的，如果它们存在的话。
对于列表，有两个众所周知的Applicative实例： []和ZipList 。 因此， Applicative不是唯一的 （另请参阅GHC可以派生函子和适用于monad变换器的实例吗？为什么没有-XDeriveApplicative扩展？）。 然而， ZipList需要无限列表，因为它的pure无限期地重复给定的元素。
Applicative实例？ 再进一步，如果我们可以将[]和ZipList到Monad，我们就会有一个例子，monad并不是由数据类型和它的Functor唯一确定的。 唉，只有我们限制自己的无限列表（流）时， ZipList才有Monad实例。 并且[] return创建一个单元素列表，因此它需要有限列表。 因此：
如果存在两个或更多不同实例的示例，则会出现明显的问题，如果它们必须/可以具有相同的应用实例：
最后，我们可以为Alternative / MonadPlus询问相同的问题。 由于存在两套不同的MonadPlus法则，这一事实很复杂。 假设我们接受其中一套法则（并且对于Applicative我们接受右/左分配/吸收，也请参阅这个问题），
如果上述任何一项都是独一无二的，那么我有兴趣知道为什么，有一点证明。 如果没有，反例。
首先，由于Monoid不是唯一的， Writer Monad或Applicative都不是。 考虑
data M a = M Int a
那么你可以给它Applicative和Monad实例同构于以下任何一个：
Writer (Sum Int)
Writer (Product Int)
给定类型s的Monoid实例，具有不同Applicative / Monad实例的另一个同构对是：
ReaderT s (Writer s)
State s
至于有一个Applicative实例扩展到两个不同的Monad ，我不记得任何例子。 但是，当我试图完全说服ZipList是否真的不能成为Monad ，我发现以下非常强大的限制适用于任何Monad ：
join (fmap (x -> fmap (y -> f x y) ys) xs) = f <$> xs <*> ys
尽管如此，对于所有值都不join ：对于列表，受限值是所有元素具有相同长度的那些值，即具有“矩形”形状的列表列表。
（对于Reader monad来说，monadic值的“形状”不会变化，这些实际上都是m (mx)值，所以这些值具有唯一的扩展名。编辑：来想一想， Either是Maybe还是Writer也只有“矩形” m (mx)值，所以它们从Applicative到Monad的扩展也是唯一的。）
不过，如果存在两个Monad的Applicative ，我不会感到惊讶。
对于Alternative / MonadPlus ，我不记得使用左侧的分配法，而不是左抓实例的任何法律，我看没有什么阻止你只是交换(<|>)与flip (<|>) 我不知道是否有一个不太重要的变化。
附录：我突然想起我找到了一个Applicative于两个Monad的例子。 即有限清单。 有通常的Monad []实例，但是您可以通过以下函数替换它的join （实质上使空列表“感染”）：
ljoin xs
| any null xs = []
| otherwise = concat xs
（唉，列表需要是有限的，否则null检查将永远不会结束，并且会破坏join . fmap return == id monad law。）
这有相同的值join / concat上列出的名单矩形，所以可以得到同样的Applicative 。 据我记得，事实证明，前两个单子定律是自动的，你只需要检查ljoin . ljoin == ljoin . fmap ljoin ljoin . ljoin == ljoin . fmap ljoin ljoin . ljoin == ljoin . fmap ljoin 。
鉴于每个Applicative都有一个Backwards对应的，
newtype Backwards f x = Backwards {backwards :: f x}
instance Applicative f => Applicative (Backwards f) where
pure x = Backwards (pure x)
Backwards ff <*> Backwards fs = Backwards (flip ($) <$> fs <*> ff)
Applicative唯一确定是独特的，正如（这与非相关很远）一样，许多集合以多种方式扩展到monoids。
在这个答案中，我设置了为非空列表找到至少四个不同的有效Applicative实例的练习：我不会在这里破坏它，但是我会给出一个关于如何狩猎的大提示。
与此同时，在一些最近的工作中（我在几个月前在一所暑期学校看到），Tarmo Uustalu展示了一种相当简洁的方式来解决这个问题，至少当下层仿函数是一个容器时，雅培，阿尔滕基希和加尼。
警告：依赖类型提前！
什么是容器？ 如果您有相关类型，您可以统一呈现类似容器的函数F，由两个组件决定
在同构性方面，FX中的容器数据结构由一些形状的依赖对s：S和一些函数e：P s - > X给出，它告诉位于每个位置的元素。 也就是说，我们定义了容器的扩展
(S <| P) X = (s : S) * (P s -> X)
（顺便说一句，如果你阅读->作为反向指数运算），看起来很像一个广义的幂级数。 这个三角形应该提醒你一个横向的树节点，用s：S标记顶点，基线表示位置集合P s。 我们说如果一个仿函数与一些S <| P是同构的，那么它就是一个容器 S <| P
在Haskell中，你可以很容易地获取S = F () ，但是构造P可能需要相当多的类型嘲弄。 但这是你可以在家尝试的东西。 你会发现容器在所有通常的多项式类型形成操作中都被关闭，以及身份，
Id ~= () <| _ -> ()
其中整个形状由每个外部位置的仅一个外部形状和内部形状制成，
(S0 <| P0) . (S1 <| P1) ~= ((S0 <| P0) S1) <| (s0, e0) -> (p0 : P0, P1 (e0 p0))
和其他一些东西，特别是张量，其中有一个外部形状和一个内部形状（所以“外部”和“内部”可以互换）
(S0 <| P0) (X) (S1 <| P1) = ((S0, S1) <| (s0, s1) -> (P0 s0, P1 s1))
所以F (X) G意思是“ G结构的F结构 - 所有相同的形状”，例如[] (X) []表示矩形列表列表。 但我离题了
容器之间的多态函数每个多态函数
m : forall X. (S0 <| P0) X -> (S1 <| P1) X
可以通过容器态射来实现，这种容器态射以非常特殊的方式由两个组件构成。
f : S0 -> S1将输入形状映射为输出形状; g : (s0 : S0) -> P1 (f s0) -> P0 s0将输出位置映射到输入位置。 那么我们的多态功能就是这样
(s0, e0) -> (f s0, e0 . g s0)
其中输出形状是从输入形状计算出来的，然后通过从输入位置拾取元素来填充输出位置。
（如果你是彼得·汉考克，你可以对其中的一切进行比喻，形状是命令;位置是响应;容器态射是一种设备驱动程序，以一种方式翻译命令，然后响应另一种命令。）
每个容器态射都给你一个多态函数，但是相反的情况也是如此。 鉴于这样一个米，我们可以采取
(f s, g s) = m (s, id)
也就是说，我们有一个表示定理，说两个容器之间的每个多态函数都是由这样一个f ， g -pair给出的。
Applicative怎么样？ 我们有点迷路，建立了所有这些机器。 但它是值得的。 当monads和applicatives的底层函数是容器时，多态函数pure和<*> ， return和join必须可以用容器态射的相关概念来表示。
我们首先使用应用程序，使用他们的monoidal演示。 我们需要
unit : () -> (S <| P) ()
mult : forall X, Y. ((S <| P) X, (S <| P) Y) -> (S <| P) (X, Y)
形状从左到右的地图要求我们交付
unitS : () -> S
multS : (S, S) -> S
所以看起来我们可能需要一个monoid。 当你检查应用法律时，你发现我们需要一个幺半群。 装备具有应用结构的容器正在精确地改变其形状上的幺半群结构，并具有合适的位置操作。 没有什么换做是unit （因为没有源位置chocie），但对于mult ，我们需要whenenver
multS (s0, s1) = s
我们有
multP (s0, s1) : P s -> (P s0, P s1)
满足适当的身份和相关条件。 如果我们切换到汉考克的解释，我们正在为命令定义一个monoid（跳过，分号），在选择第二个命令之前无法查看对第一个命令的响应，就像命令是一副打卡片一样。 我们必须能够将对组合命令的响应切分为对各个命令的个别响应。
所以，形状上的每个幺半群都给了我们一个潜在的应用结构。 对于列表，形状是数字（长度），并且有很多monoid可供选择。 即使形状生活在Bool ，我们也有相当多的选择。
Monad呢？ 同时，对于M〜 M ~= S <| P单体M M ~= S <| P 我们需要
return : Id -> M
join : M . M -> M
首先看形状，这意味着我们需要一种不平衡的幺半群。
return_f : () -> S
join_f : (S <| P) S -> S -- (s : S, P s -> S) -> S
它是不平衡的，因为我们在右边得到了一堆形状，而不仅仅是一个。 如果我们切换到汉考克的解释，我们正在为命令定义一种顺序组合，在那里我们确实根据第一个响应来选择第二个命令，就像我们在电传中进行交互一样。 更多的几何学上，我们正在解释如何将树的两层结合为一个。 如果这种组合物是独特的，那将是非常令人惊讶的。
同样，对于职位，我们必须以一致的方式将单个输出职位映射到配对。 这对Monad来说更复杂：我们首先选择一个外部位置（响应），然后我们必须选择一个适合于在第一个位置（在第一个响应之后选择）找到的形状（命令）的内部位置（响应）。
我很想和Tarmo的工作联系，了解细节，但它似乎还没有上街。 他实际上已经使用这种分析来枚举所有可能的monad结构以用于多个潜在容器的选择。 我期待着这篇论文！
编辑。 通过对另一个答案表示敬意，我应该观察到，当处处P s = () ，则(S <| P) X ~= (S, X)和monad / applicative结构恰好相互重合， S上的幺半群结构。 也就是说，对于作家单子来说，我们只需要选择形状级别的操作，因为在每种情况下，只有一个值的位置。
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