指数：小哦
这个问题在这里已经有了答案：
当n->infinite时， f(n)=o(g(n))意味着f(n)/g(n)->0 。
对于你的问题，它应该保持a>1 。 (n^b)/(a^n)->0 (n^b)/(sqrt(a)^n*sqrt(a)^n))=((n^b)/sqrt(a)^n) * (1/sqrt(a)^n) 。 让f(n)=((n^b)/sqrt(a)^n)是一个函数先增大后减小，这样你就可以得到的最大值max(f(n))=M ，则(n^b)/(a^n) < M/(sqrt(a)^n)由于a>1, sqrt(a)>1 ，所以(sqrt(a)^n)->infinite时n->infinite 。 当n->infinite ，即M/(sqrt(a)^n)->0 。最后，当n->infinite ，得到(n^b)/(a^n)->0 。 根据定义，这是n^b=o(a^n) 。
（为了简单起见，我假设所有函数总是返回正值，例如测量算法运行时的函数就是这种情况，因为没有算法在“负”时间运行）。
首先，回顾一下大O符号，澄清一个常见的误解：
说f是O(g)意味着f最多渐进地增长到g速度。 更正式地说，把f和g当作变量n函数，假设f(n)是O(g(n))意味着存在一个常数K ，所以最终f(n) < K * g(n) 。 这里的“最终”一词意味着存在某个固定值N （这是K ， f和g的函数），所以如果n > N那么f(n) < K * g(n) 。
例如，函数f(n) = n + 2是O(n^2) 。 要知道为什么，让K = 1 。 那么，如果n > 10 ，我们有n + 2 < n^2 ，所以我们的条件得到满足。 有几件事要注意：
n = 1 ，我们有f(n) = 3和g(n) = 1 ，所以f(n) < K * g(n)实际上失败了。 没关系！ 请记住，不平等最终只需要保持不变，并且不等式对于n小有限列表是否不成立。 K = 1 ，但我们不需要。 例如， K = 2也会起作用。 重要的是K有一定的价值，这给我们最终的不平等。 n + 2是O(n^2) 。 这可能看起来很混乱，你可能会说：“等等，实际上不是n + 2 O(n) ？” 答案是肯定的。 n + 2是O(n) ， O(n^2) ， O(n^3) ， O(n/3)等。 小O符号略有不同。 大O符号直观地表示，如果f是O(g) ，那么f渐进地增长至多g 。 小O符号表示，如果f是o(g) ，那么f渐近地严格地慢于g 。
形式上， f是o(g)如果对K任何（假设为正）选择，最终不等式f(n) < K * o(g)成立。 因此，例如：
f(n) = n不是o(n) 。 这是因为，对于K = 1 ，没有n值，所以f(n) < K * g(n) 。 直觉上， f和g以相同的速度渐近地增长，所以f不会比g慢。 f(n) = n是o(n^2) 。 为什么是这样？ 选择你最喜欢的K值。 （要查看实际点，请尽量减小K ，例如0.001。）想象一下函数f(n)和K * g(n)图形。 一条是通过正斜率的原点的直线，另一条是通过原点的凹面抛物线。 最终抛物线会比线更高，并且会保持这种状态。 （如果你记得你的计算前/微积分...） 现在我们来看你的实际问题：让f(n) = n^b和g(n) = a^n 。 你问为什么f是o(g) 。
据推测，原始声明的作者将a和b视为常数，正实数，而且a > 1 （如果a <= 1那么声明是错误的）。
英吉利的声明是：
对于任何正实数b和任何实数a > 1 ，函数n^b渐近地严格地比a^n更慢地增长。
如果您将要处理算法复杂性，这是一件重要的事情。 简单点说，可以说“多项式增长比指数函数慢得多”。 这不是很明显，这是真的，并且写出太多，所以这里是一个参考：
https://math.stackexchange.com/questions/55468/how-to-prove-that-exponential-grows-faster-than-polynomial
可能你必须对数学有一些安慰，才能够阅读这个事实的任何证据。
祝你好运！
声明nb的超级高层含义是o（an）就是像指数函数那样的增长速度比多项式函数（如nb）快得多。
当看到大O和小O表示法时，要理解的重要一点是它们都是上限。 我猜这就是为什么你感到困惑。 n是o（an），因为an的增长率要大得多。 你可能会在nb上找到一个更小的o上界（其中界限和函数之间的间隔更小），但仍然有效。 这也可能值得看看大O和小O之间的区别。
请记住函数f是函数g的大O如果对于某个常数k> 0，最终可以找到n的最小值，使得f（n）≤k* g（n）。
函数f是函数g的一个小数，如果对于任何常数k> 0，您最终可以找到n的最小值，这样f（n）≤k* g（n）。
请注意，小o的要求很难实现，这意味着如果函数f只是函数g的一小部分，它也是g的大O，并且这意味着函数g的增长速度比它仅仅是g的大O 。
在你的例子中，如果b是3并且a是2并且我们将k设置为1，那么我们可以计算出n的最小值，使得nb≤k * an。 在这种情况下，由于9 9³ = 729和1 * 2⁹ = 512 ，这意味着在9和10之间，这意味着在9和nb还不大于nb，但10³ = 1000和1 * 2¹⁰ = 1024 ，这意味着现在n大于nb 。 你可以看到这些函数表示n对于n> 10的任何值都大于nb。在这一点上，我们只显示了nb是n的大O，因为大O只要求k> 0的某个值（我们选择1）对于某个最小值n≥nb（在这种情况下，它介于9和10之间）
为了证明nb是一个很小的值，我们必须证明，对于任何大于0的k，仍然可以找到n的最小值，使得> nb。 例如，如果选择k = .5，我们之前找到的最小值10不起作用，因为10³ = 1000 ，而.5 * 2¹⁰ = 512 。 但是我们可以继续滑动n的最小值越小越好，k越小，n的最小值越大b。 说nb是一个手段，不管你做多小的k，我们总能找到一个足够大的n值，这样nb≤k* an