为什么有些浮点<整数比较比其他四倍慢？

2018-05-30 20:57:53

将浮点数与整数进行比较时，某些值对需要比其他类似值的值更长的时间来评估。

例如：

>>> import timeit
>>> timeit.timeit("562949953420000.7 < 562949953421000") # run 1 million times
0.5387085462592742

但是如果浮点数或整数的数值变小或变大一些，则比较运行得更快：

>>> timeit.timeit("562949953420000.7 < 562949953422000") # integer increased by 1000
0.1481498428446173
>>> timeit.timeit("562949953423001.8 < 562949953421000") # float increased by 3001.1
0.1459577925548956

更改比较运算符（例如，使用==或> ）不会以任何明显的方式影响时间。

这不仅仅与幅度有关，因为选择更大或更小的值会导致更快的比较，所以我怀疑它是由一些不幸的方式排列起来的。

显然，比较这些值对于大多数使用情况来说足够快。我只是好奇，为什么Python似乎更多地与一些价值观斗争而不是其他人。

浮动对象的Python源代码中的注释承认：

比较几乎是一场噩梦

将浮点数与整数进行比较时尤其如此，因为与浮点数不同，Python中的整数可以任意大且始终精确。尝试将整数转换为浮点数可能会损失精度并使比较不准确。尝试将浮点数转换为整数不会起作用，因为任何小数部分都会丢失。

为了解决这个问题，Python执行一系列检查，如果其中一个检查成功，则返回结果。它比较两个值的符号，然后是整数是否“太大”而不是浮点数，然后将浮点数的指数与整数的长度进行比较。如果所有这些检查均失败，则需要构造两个新的Python对象进行比较以获得结果。

当比较浮点数v与整数/长整数w ，最坏的情况是：

v和w具有相同的符号（正数或负数），

整数w位数足够少，可以保存在size_t类型中（通常为32或64位），

整数w至少有49位，

浮点数v的指数与w的位数相同。

这正是我们对这个问题的价值所具有的：

>>> import math
>>> math.frexp(562949953420000.7) # gives the float's (significand, exponent) pair
(0.9999999999976706, 49)
>>> (562949953421000).bit_length()
49

我们可以看到49是float的指数和整数中的位数。这两个数字都是正数，因此满足上述四个标准。

选择其中一个较大（或更小）的值可以改变整数的位数或指数的值，所以Python可以在不执行昂贵的最终检查的情况下确定比较结果。

这是针对该语言的CPython实现特定的。

比较更详细

float_richcompare函数处理两个值v和w之间的比较。

以下是该功能执行的检查的分步说明。 Python源代码中的注释在尝试理解函数的作用时非常有用，因此我已将它们留在相关的位置。我还在答案的底部列出了这些检查。

主要想法是将Python对象v和w映射到两个适当的C双打， i和j ，然后可以轻松地比较它们以提供正确的结果。 Python 2和Python 3都使用相同的想法来做到这一点（前者分别处理int和long类型）。

首先要做的是检查v是否肯定是一个Python浮点数并将其映射到一个C double i 。接下来，该函数将查看w是否也是一个浮点数并将其映射到一个C double j 。这是功能最好的情况，因为所有其他检查都可以跳过。该函数还检查v是inf还是nan ：

static PyObject*
float_richcompare(PyObject *v, PyObject *w, int op)
{
    double i, j;
    int r = 0;
    assert(PyFloat_Check(v));       
    i = PyFloat_AS_DOUBLE(v);       

    if (PyFloat_Check(w))           
        j = PyFloat_AS_DOUBLE(w);   

    else if (!Py_IS_FINITE(i)) {
        if (PyLong_Check(w))
            j = 0.0;
        else
            goto Unimplemented;
    }

现在我们知道如果w没有通过这些检查，它不是Python浮点数。现在函数检查它是否是一个Python整数。如果是这种情况，最简单的测试就是提取v的符号和w的符号（如果为零则返回0否则返回-1 ，如果为正-1则返回1 ）。如果符号不同，这是返回比较结果所需的全部信息：

    else if (PyLong_Check(w)) {
        int vsign = i == 0.0 ? 0 : i < 0.0 ? -1 : 1;
        int wsign = _PyLong_Sign(w);
        size_t nbits;
        int exponent;

        if (vsign != wsign) {
            /* Magnitudes are irrelevant -- the signs alone
             * determine the outcome.
             */
            i = (double)vsign;
            j = (double)wsign;
            goto Compare;
        }
    }

如果检查失败，则v和w具有相同的符号。

下一次检查将计算整数w的位数。如果它的位数太多，那么它不可能作为浮点数保存，因此必须大于浮点数v ：

    nbits = _PyLong_NumBits(w);
    if (nbits == (size_t)-1 && PyErr_Occurred()) {
        /* This long is so large that size_t isn't big enough
         * to hold the # of bits.  Replace with little doubles
         * that give the same outcome -- w is so large that
         * its magnitude must exceed the magnitude of any
         * finite float.
         */
        PyErr_Clear();
        i = (double)vsign;
        assert(wsign != 0);
        j = wsign * 2.0;
        goto Compare;
    }

另一方面，如果整数w具有48位或更少的位，则它可以安全地转入C双j并进行比较：

    if (nbits <= 48) {
        j = PyLong_AsDouble(w);
        /* It's impossible that <= 48 bits overflowed. */
        assert(j != -1.0 || ! PyErr_Occurred());
        goto Compare;
    }

从这一点开始，我们知道w有49位或更多位。将w视为正整数会很方便，因此必须根据需要更改符号和比较运算符：

    if (nbits <= 48) {
        /* "Multiply both sides" by -1; this also swaps the
         * comparator.
         */
        i = -i;
        op = _Py_SwappedOp[op];
    }

现在函数查看浮点数的指数。回想一下，浮点数可以写成（忽略符号）为有效数字* 2分量，而有效数字表示一个介于0.5和1之间的数字：

    (void) frexp(i, &exponent);
    if (exponent < 0 || (size_t)exponent < nbits) {
        i = 1.0;
        j = 2.0;
        goto Compare;
    }

这检查了两件事。如果指数小于0，那么浮点数小于1（幅度小于任何整数）。或者，如果指数小于w的位数，那么我们有v < |w| 因为有效数* 2分量少于2个数。

如果这两项检查失败，函数将查看指数是否大于w的位数。这表明有效数* 2分量大于2个数，所以v > |w| ：

    if ((size_t)exponent > nbits) {
        i = 2.0;
        j = 1.0;
        goto Compare;
    }

如果这个检查没有成功，我们知道float v的指数与整数w的位数相同。

现在可以比较两个值的唯一方法是从v和w构造两个新的Python整数。这个想法是放弃v的小数部分，加倍整数部分，然后添加一个。 w也加倍，并且可以比较这两个新的Python对象以提供正确的返回值。使用小值的示例， 4.65 < 4将由比较(2*4)+1 == 9 < 8 == (2*4) （返回false）来确定。

    {
        double fracpart;
        double intpart;
        PyObject *result = NULL;
        PyObject *one = NULL;
        PyObject *vv = NULL;
        PyObject *ww = w;

        // snip

        fracpart = modf(i, &intpart); // split i (the double that v mapped to)
        vv = PyLong_FromDouble(intpart);

        // snip

        if (fracpart != 0.0) {
            /* Shift left, and or a 1 bit into vv
             * to represent the lost fraction.
             */
            PyObject *temp;

            one = PyLong_FromLong(1);

            temp = PyNumber_Lshift(ww, one); // left-shift doubles an integer
            ww = temp;

            temp = PyNumber_Lshift(vv, one);
            vv = temp;

            temp = PyNumber_Or(vv, one); // a doubled integer is even, so this adds 1
            vv = temp;
        }
        // snip
    }
}

为了简洁，我省略了额外的错误检查和垃圾跟踪Python在创建这些新对象时必须执行的操作。不用说，这增加了额外的开销，并解释了为什么问题中突出显示的值比其他值显着慢。

以下是比较功能执行的检查汇总。

让v是一个浮点数并将其转换为C双精度值。现在，如果w也是一个浮点数：

检查w是nan还是inf 。如果是这样，根据w的类型分别处理这个特殊情况。

如果不是，则将v和w作为C双打直接与它们的表示作比较。

如果w是一个整数：

提取v和w的符号。如果它们不同，那么我们知道v和w是不同的，哪个是更大的价值。

（符号相同。）检查w是否有太多位是浮点数（大于size_t ）。如果是这样， w幅度大于v 。

检查w是否有48位或更少位。如果是这样，它可以安全地转换为C双精度，而不会失去其精度，并与v进行比较。

（ w有48位以上，我们现在将w视为一个正整数，以适当地改变比较操作）。

考虑float v的指数。如果指数为负，则v小于1 ，因此小于任何正整数。否则，如果指数小于w的位数，那么它必须小于w 。

如果v的指数大于w的位数，则v大于w 。

（指数与w的位数相同。）

最后的检查。将v拆分为整数和小数部分。将整数部分加倍并加1以补偿小数部分。现在加倍整数w 。比较这两个新的整数来获得结果。

使用具有任意精度浮点数和整数的gmpy2 ，可以获得更均匀的比较性能：

~ $ ptipython
Python 3.5.1 |Anaconda 4.0.0 (64-bit)| (default, Dec  7 2015, 11:16:01) 
Type "copyright", "credits" or "license" for more information.

IPython 4.1.2 -- An enhanced Interactive Python.
?         -> Introduction and overview of IPython's features.
%quickref -> Quick reference.
help      -> Python's own help system.
object?   -> Details about 'object', use 'object??' for extra details.

In [1]: import gmpy2

In [2]: from gmpy2 import mpfr

In [3]: from gmpy2 import mpz

In [4]: gmpy2.get_context().precision=200

In [5]: i1=562949953421000

In [6]: i2=562949953422000

In [7]: f=562949953420000.7

In [8]: i11=mpz('562949953421000')

In [9]: i12=mpz('562949953422000')

In [10]: f1=mpfr('562949953420000.7')

In [11]: f<i1
Out[11]: True

In [12]: f<i2
Out[12]: True

In [13]: f1<i11
Out[13]: True

In [14]: f1<i12
Out[14]: True

In [15]: %timeit f<i1
The slowest run took 10.15 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 441 ns per loop

In [16]: %timeit f<i2
The slowest run took 12.55 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
10000000 loops, best of 3: 152 ns per loop

In [17]: %timeit f1<i11
The slowest run took 32.04 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 269 ns per loop

In [18]: %timeit f1<i12
The slowest run took 36.81 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 231 ns per loop

In [19]: %timeit f<i11
The slowest run took 78.26 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
10000000 loops, best of 3: 156 ns per loop

In [20]: %timeit f<i12
The slowest run took 21.24 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
10000000 loops, best of 3: 194 ns per loop

In [21]: %timeit f1<i1
The slowest run took 37.61 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 275 ns per loop

In [22]: %timeit f1<i2
The slowest run took 39.03 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 259 ns per loop

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