背包多重约束
我有一个动态编程问题，我花了几个小时研究无济于事。
第一部分很简单：你有背包的物品，你必须最大限度地发挥这些物品的价值，同时保持它们低于一定的重量。
问题的第二部分是相同的，除了现在还有一个项目限制。 例如：
您可以放入包中的物品的最大价值是多少，以便在重量和物品限制下价值最大化？
我不知道如何实现这个问题的第二部分，我寻找一个通用算法。
在没有项目限制的动态规划解决方案中，您有二维矩阵，其中Y轴是项目索引，X轴是重量。 然后对于每件商品，您选择最大的重量对
以下是Python中标准解决方案的示例：
def knapsack(n, weight, values, weights):
dp = [[0] * (weight + 1) for _ in range(n + 1)]
for y in range(1, n + 1):
for x in range(weight + 1):
if weights[y - 1] <= x:
dp[y][x] = max(dp[y - 1][x],
dp[y - 1][x - weights[y - 1]] + values[y - 1])
else:
dp[y][x] = dp[y - 1][x]
return dp[-1][-1]
现在，当您添加项目限制时，您必须为每个项目选择最大值，值，从中使用三项组合的项目数
为了表示项目的数量，您可以将第三维添加到之前使用的表示已使用项目数量的矩阵中：
def knapsack2(n, weight, count, values, weights):
dp = [[[0] * (weight + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(count + 1)]
for z in range(1, count + 1):
for y in range(1, n + 1):
for x in range(weight + 1):
if weights[y - 1] <= x:
dp[z][y][x] = max(dp[z][y - 1][x],
dp[z - 1][y - 1][x - weights[y - 1]] + values[y - 1])
else:
dp[z][y][x] = dp[z][y - 1][x]
return dp[-1][-1][-1]
简单演示：
w = 5
k = 2
values = [1, 2, 3, 2, 2]
weights = [4, 5, 1, 1, 1]
n = len(values)
no_limit_fmt = 'Max value for weight limit {}, no item limit: {}'
limit_fmt = 'Max value for weight limit {}, item limit {}: {}'
print(no_limit_fmt.format(w, knapsack(n, w, values, weights)))
print(limit_fmt.format(w, k, knapsack2(n, w, k, values, weights)))
输出：
Max value for weight limit 5, no item limit: 7
Max value for weight limit 5, item limit 2: 5
请注意，您可以针对内存消耗优化示例，因为向解决方案添加第z项时，您只需知道z-1项的解决方案。 你也可以检查是否有可能将z物品放在重量限制之下，并且如果不能相应地减少物品限制。
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