具体图和一些关于最短路径的声明？
我陷入了一个具有挑战性的问题，我在笔记上读到。
我们知道在这个图中， 任意两个顶点之间的最短路径位于Minimum Spanning Tree （MST）上。图G （无negative权和所有权重distinct ）给出，我们知道在这个图中任何两个顶点之间的最短路径是Minimum Spanning Tree （MST）。 （对于任何一对顶点和它们之间的任何最短路径，它都位于MST上）。 以下哪项是True ？
1）图G是一棵树。
2）每个{u，v}边的权重至少与从u到v的最短路径中的最重边相等（相同）。
3）任意两个顶点之间的最短路径u ， v是唯一的。
4）假设从顶点s ，Prime（用于计算MST）和Dijkstra（用于计算最短路径）开始，按照相同的顺序处理和添加顶点到它们的树中。 （两个算法在处理和添加节点时以相同的顺序工作）
如何验证我这些选项？ 这是一个充满挑战的问题。
例如： V = {1, 2, 3} ， E = {(1, 2, 1), (2, 3, 2), (1, 3, 4)} （每个边被编码为一个元组（一个顶点，另一个顶点，权重））。 它不是一棵树，但所有最短路径都在最小生成树上。
是。 如果此边的重量小于最短路径中最重边的重量，则该边比最短路径短（因为没有负重的边）。 因此，最短路径不是最短的。 这是一个矛盾。
没有*。 假设我们有一个包含两个顶点{1, 2}和一个边的图，其权重为零。 第一个和第二个顶点之间有无限多的最短路径（ [1, 2], [1, 2, 1, 2], ... ）
*但是，任何两个顶点之间都有一个唯一的简单最短路径，因为树中任意两个顶点之间只有一条简单路径，由于问题陈述的存在，任何不完全位于最小生成树中的路径都会更长。在具有不同边权重的图中只有一个最小生成树。
不考虑这棵树： V = {1, 2, 3, 4} ， E = {(1, 2, 3), (2, 3, 2), (1, 4, 4)} 。 假设开始顶点是1 。 Prim算法将采用第一个顶点，而不是第二个顶点，而第三个顶点只在第四个顶点之后。 但是Dijkstra算法将在第三个顶点之前占据第四个顶点。 发生这种情况的原因是第三个顶点在处理前两个顶点后更靠近树，但距起始节点的总距离较大。
我不想给出完整的答案，但这里是你如何处理它：
你能否将边缘添加到树中，使它不再是树，并且该树还包含所有最短路径？
如果边缘比最重的边缘短，会发生什么？
这是令人困惑的，因为问题显示“任何两个顶点之间的最短路径在MST上”，但没有解决可能存在多条最短路径的事实。 所以你可以假设“树上至少有一条最短路径”。 在这种情况下，只需通过MST连接两个顶点与重量等于成本的边，就可以得到答案。
同样，你应该从顶点没有以相同顺序添加的情况开始