将坐标从一个畸变的坐标系转换到另一个
这个问题最好用一个例子来解释：
http://dl.dropbox.com/u/1013446/distortedcoordinatespace.exe
将小红色方块拖放到右边的小方块内。 它对应于左边大四边形的红色方块。 您还可以拖动左侧大四边形的四个角，以查看它如何占据正方形内空间的扭曲版本。
给定一个正方形的四个点的绝对坐标以及正方形内任意点的坐标，将点的坐标重新映射到一个任意的四边形是很简单的。
我想要的是能够以任意的四边形开始，并能够做同样的事情，将四边形变换为任何其他四边形，但保持点的相对扭曲位置，
所以考虑到2个不规则四边形A和B中的每一个的4个绝对坐标，如何将C点的坐标转换为绝对坐标？
也很有帮助，我会在这里错过任何这些转换将被称为的术语，因为我想更多地了解它们
好吧，我试图实施btilly的解决方案，这是我迄今为止：
#include<complex>
#define cf complex<float>
cf i=sqrt(complex<float>(-1));
cf GetZ(float x,float y)
{
return cf(x)+(cf(y)*i);
}
cf GetPathIntegral(cf p1,cf p2,cf q1,cf q2, int n)
{
cf sum;
for (int index=0;index<=n;index++)
{
cf s=cf(float(index)/float(n));
cf weight;
if (index==0||index==n)
weight=1;
else if(index%2)
weight=4;
else weight =2;
sum+=(((cf(1)-s)*q1)+(s*q2))*(p2-p1)*weight;
}
return sum/cf((3.0*(n-1.0)));
}
在我从这里前进之前，我想确保我目前为止是......
另外，这一段让我困惑了一下：
好的，我们可以做路径积分。 那是什么价值？ 那么假设我们在我们地区的某个地方有一个随机点z0 = x + iy。 假设f（z）在路径上定义。 然后Cauchy积分公式说明f（z）/（2 *π* i *（z-z0））的区域周围的积分（这是我们知道如何做的4个分段积分的总和）是一个真正的很好的功能，这将匹配我们在边界上的原始功能。
函数做了什么？
（我的第一个传球是一个自然而然的表达式的复杂推导，但后来我意识到有一个更好的解决方案，如果我在过去的20年中使用了复杂分析，那么我早就会记得这一点。）
正确的做法是应用Cauchy积分公式。 有了这个，你可以将任何多边形映射到任何其他多边形。 如果多边形不是自相交的，则它将边界发送到边界，内部发送到内部。 该映射也将具有共形的优异属性，这意味着角度得以保留。 我的意思是，如果一对曲线在你的区域相交，那么它们将被映射到一对以相同角度相交的曲线。 （埃舍尔的许多绘图都是基于共形映射的。）
足够的炒作。 你怎么做呢？ 我会解释它，假设你对复杂分析一无所知。 我将使用一些微积分术语，但即使您根本不知道任何微积分，您也应该能够遵循我的指导。 由于我假设这么少，所以解释必须很长。 我很抱歉。
真实平面中的每个点(x, y)都可以看作一个复数z = x + iy 。 我们可以使用通常的代数规则和i * i = -1的事实来添加和乘上复数。 此外注意1 = (x + iy) * (x - iy)/(x2 + y2)所以如果我们让1/z = (x - iy)/(x2 + y2) 因此我们拥有所有通常的算术规则。
但我们可以做得比这更好。 我们可以做微积分。 特别是我们可以在曲线周围进行路径积分。 沿着曲线的函数的积分是该函数在该曲线上的点的加权平均。 你可以阅读如何做到这一点。 但在这种情况下，如何做到这一点。
假设起始区域具有角落P1, P2, P3, P4 。 区域周围的路径由四条线段(P1, P2), (P2, P3), (P3, P4), (P4, P1) 。 我会谈谈如何处理第一条线段。 其他人是相似的。
f(z)在(P1, P2)上的路径积分是f((1-s)P1 + sP2)(P2 - P1)从0到1的积分。 为了评估积分，最简单的事情就是使用辛普森规则进行数值积分。 要做到这一点，选择一个奇数n并为值s = 0, 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n, 1分配他们权重模式1, 4, 2, 4, 2, ..., 2, 4, 1 。 （终点为1，其他所有部分在4和2之间交替）。现在为每个点计算f((1-s)P1 + sP2)(P2 - P1) ，乘以权重，并将它们加在一起。 然后除以魔法值3 * (n-1) 。 结果大约是你的积分。 （随着n增加，这个近似值的误差是O(1/n4) 。在你的情况下，如果你取n = 21那么近似值应该足够好以便将像素映射到正确的像素，除了边界附近的一些像素，让它稍大一点，问题区域会变小，在边缘你需要一边的像素数的倍数，以使错误变小。）
好的，我们可以做路径积分。 那是什么价值？ 那么假设我们在我们地区的某个地方有一个随机点z0 = x + iy 。 假设f(z)在路径上定义。 然后Cauchy积分公式说明f(z)/(2 * π * i * (z - z0))区域周围的积分（这是我们知道如何做的4个分段积分的总和f(z)/(2 * π * i * (z - z0))是一个真正的很好的功能，将与我们在边界上的原始功能相匹配。 我不会涉及所有关于它的“非常好”的事情，但我上面关于共形的描述就是其中的一部分。
现在什么功能f我们如何使用？ 那么假设我们的地区正在映射到角落Q1, Q2, Q3, Q4 。 我们希望第一个路径片映射到第二个路径片。 所以我们希望f((1-s)P1 + sP2)为(1-s)Q1 + sQ2 。 这告诉我们如何计算f在所有我们需要做我们的积分点。
现在，你问，你如何扭转它？ 这很简单。 只需扭转两个多边形的角色，并计算逆向变换！ 这带来了非常好的单元测试。 你应该定义几个奇怪的区域，在中间选择一个点，并验证如果你从第一个映射到第二个，并且再次返回，你会接近你开始的位置。 如果你通过了这个测试，那么你可能没有犯错。
最后，我做出的一般多边形声明呢？ 那么我们将我们的路径定义为我们线性遍历的四部分。 更高程度的多边形只有更多的路径，否则计算完全以相同的方式完成。
找到了解决方案。 我不得不说，这比我预期的要复杂得多：
假设一个正方形或四边形有四个角落：
AB
CD
你需要一个插值因子：xt表示x轴，yt表示y轴
如果你定义了一个线性插值公式：
lerp(j,k,t)
{
return (t*(k-j))+j;
}
ABCD quad内的点p被定义为：
p.x=lerp(lerp(a.x,b.x,xt),lerp(c.x,d.x,xt),yt)
和
p.y=lerp(lerp(a.y,c.y,yt),lerp(b.y,d.y,yt),xt)
那么你需要定义的值是xt和yt
xt =（（2 * cx * ay） - （dx * ay） - （2 * ax cy）+（bx cy） - （cx * by）+（ax * dy） - （ay * px）+（cy * px）+（by px） - （dy px）+（ax py） - （bx py） - （cx * py）+（dx * py）-sqrt（-4 *（（cx * ay） - （dx * ay） - （ax * cy）+（bx * cy） - （cx * by）+（dx * by）+（ax dy） - （bx dy））*（（cx * ay） - （ax * cy） - （ax * px）+（cy * px）+（ax * py） - （cx * py））+（（-2 * cx ay）+（dx ay）+（2 * ax cy） - ）+（cx * by） - （ax * dy）+（ay * px） - （cy * px） - （by * px）+（dy * px） - （ax * py）+（bx * py）+ （cx * py） - （dx py））^ 2））/（2（（cx * ay） - （dx * ay） - （ax * cy）+（bx * cy） - dx * by）+（ax * dy） - （bx * dy）））
一旦你有了
yt=(p.x-lerp(a.x,b.x,('xt')))/(lerp(c.x,d.x,('xt'))-lerp(a.x,b.x,('xt')))
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