为什么十进制数不能完全用二进制表示？
在SO上发布了几个关于浮点表示的问题。 例如，十进制数字0.1没有精确的二进制表示形式，因此使用==运算符将其与另一个浮点数字进行比较是危险的。 我理解浮点表示的原理。
我不明白的是，从数学的角度来看，为什么小数点右边的数字更加“特殊”，即左边的数字？
例如，数字61.0具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分总是精确的。 但数字6.10并不确切。 我所做的只是将小数点后移一位，突然间我从Exactopia变成了Inexactville。 在数学上，这两个数字之间应该没有内在的区别 - 它们只是数字。
相比之下，如果我将小数位移到另一个方向以产生数字610，我仍然在Exactopia中。 我可以继续沿着这个方向前进（6100,610000000,610000000000000），他们仍然是确切的，确切的，确切的。 但是，一旦小数点超过某个阈值，数字就不再精确。
这是怎么回事？
编辑：为了澄清，我想远离关于IEEE等行业标准表示的讨论，并坚持我认为是数学“纯”的方式。 在基数10中，位置值是：
... 1000 100 10 1 1/10 1/100 ...
在二进制中，它们是：
... 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 ...
这些数字也没有任何限制。 这些头寸无限地向左和向右增加。
如果您有足够的空间，则可以精确地表示十进制数字 - 而不是浮点二进制数字。 如果使用浮点小数点类型（例如.NET中的System.Decimal ），那么可以准确地表示大量无法完全用二进制浮点表示的值。
让我们以另一种方式来看待它 - 在你可能会感到满意的基础10中，你无法完全表达1/3。 它是0.3333333 ...（经常性）。 您无法将0.1表示为二进制浮点数的原因完全是由于相同的原因。 您可以完全表示3,9和27，但不能是1/3，1/9或1/27。
问题在于3是一个素数，不是10的因子。当你想将一个数乘以3时，这不是问题：你总是可以乘以一个整数而不会遇到问题。 但是，如果用一个数字作为素数而不是基数，那么你可能会遇到麻烦（如果你试图用这个数字除1）就会遇到麻烦。
尽管通常使用0.1作为精确十进制数的最简单示例，但不能准确表示二进制浮点数，可以说0.2是一个更简单的示例，因为它是1/5 - 而5是导致十进制和二进制之间的问题的主要示例。
处理有限表示问题的附注：
一些浮点小数点类型具有像System.Decimal一样的固定大小，其他像java.math.BigDecimal是“任意大的” - 但它们在某个点上会达到极限，无论是系统内存还是数组的理论最大大小。 然而，这与这个答案的主要内容完全不同。 即使你真的使用了大量的位，你仍然无法精确表示浮点二进制表示中的十进制0.1。 将其与其他方式进行比较：给定任意数量的小数位数，您可以精确地表示任何可精确表示为浮点二进制数的数字。
不准确的原因是数字基础的性质。 在基数10中，你不能完全代表1/3。 它变为0.333 ...但是，在基数3中，1/3用0.1精确表示，1/2是无限重复小数（tresimal？）。 可以有限地表示的值取决于基底的唯一素数因子的数量，因此基数30 [2 * 3 * 5]可以表示比基数2或基数10更多的分数。甚至更多基数为210 [2 * 3 * 5 * 7]。
这是与“浮点错误”分开的问题。 由于数十亿的价值分布在更大的范围内，因此不准确。 所以如果你有23位的有效位数，你只能表示大约830万个不同的值。 然后一个8位指数提供了256个选项来分配这些值。 这个方案允许最精确的小数位出现在0附近，所以你几乎可以代表0.1。
例如，数字61.0具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分总是精确的。 但数字6.10并不确切。 我所做的只是将小数点后移一位，突然间我从Exactopia变成了Inexactville。 在数学上，这两个数字之间应该没有内在的区别 - 它们只是数字 。
让我们从基数10和2的详细情况中离开一会儿。让我们问一下 - 在基数b ，什么数字有终止表示，什么数字没有？ 片刻的想法告诉我们，当且仅当存在一个整数n ，使得xb^n是一个整数时，数字x有一个终止b表示。
因此，例如， x = 11/500具有终止10-表示，因为我们可以选择n = 3 ，然后xb^n = 22是一个整数。 但是x = 1/3不对，因为无论n我们选择，我们将无法摆脱3。
第二个例子提示我们考虑因素，我们可以看到，对于任何有理x = p/q （假定为最低项），我们可以通过比较b和q的素因子来回答这个问题。 如果q有任何素数因子不在b的素因子分解中，我们将永远无法找到合适的n来摆脱这些因素。
因此，对于基数10，其中q具有除2或5以外的素因子的任何p/q将不具有终止表示。
因此，现在回到10和2的基数，我们看到任何具有终止10表示的理性都恰好在q的质数因子分解中只有2 s和5 s时具有p/q的形式; 并且当q在其素数因子分解中仅有2 s时，该数字将具有终止2-表示。
但其中一种情况是另一种情况的一个子集！ 每当
q的素因子化只有2 s
这显然也是如此
q在其素数因子分解中只有2 s和5 s
或者换句话说， 每当p/q具有终止2表示时， p/q具有终止10表示 。 然而，反过来并不成立 - 只要q在其素因子化中具有5，它将具有终止10表示，但不具有终止2表示。 这是其他答案提到的0.1例子。
所以我们有你的问题的答案 - 因为2的主要因素是10的主要因素的子集，所有2端接数字都是10端接数字，但反之亦然。 这不是61对6.1，而是10对2。
作为结束语，如果某些古怪的人使用（比如说）基数为17，但我们的计算机使用的是基数5，那么你的直觉就不会被误导 - 它不会有（非零，非整数）终止的数字在这两种情况下！
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