找到N ^ 2个数字的中位数，其中有N个记忆
我试图了解分布式计算，并遇到了一个寻找一大组数的中位数的问题：
假设我们有一大堆数字（可以说元素的数量是N * K），它们不适合内存（大小为N）。 我们如何找到这些数据的中位数？ 假设在内存上执行的操作是独立的，也就是说我们可以认为有K个机器每个最多可以处理N个元素。
我认为中位数的中位数可以用于此目的。 我们可以一次将N个数字加载到内存中。 我们找到在O(logN)时间中设置的中间值并保存。
然后我们保存所有这些K中位数，并找出中位数的中位数。 再次O(logK) ，到目前为止复杂度一直是O(K*logN + logK) 。
但是这个中位数的中位数只是一个近似的中位数。 我认为使用它作为获得最佳性能表现的关键是最理想的，但为此我们需要将所有N * K数字都放在内存中。
我们如何才能找到现在我们拥有良好近似关键点的实际中位数？
你为什么不建立直方图？ 即属于几个类别的情况（值）的数量。 类别应该是连续的，不重叠的变量区间。
通过这个直方图，你可以对中间值进行首次估计（即中值在[a，b]之间），并知道有多少值落入该区间（H）。 如果H <= N，则再次读取数字，忽略此间隔之外的数字，并将间隔内的数字移至RAM。 找到中位数。
如果H> N，则对该时间间隔进行新的分区并重复该过程。 它不应该超过2或3次迭代。
请注意，对于每个分区，只需存储a，b，Delta和具有落入每个子区间的值数量的数组。
编辑。 它预计会变得更加复杂一些。 在估计间隔中间值后的每次迭代中，我们还应该考虑在这个间隔的右侧和左侧留下“多少”直方图。 我也改变了停止条件。 无论如何，我做了一个C ++实现。
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
//This is N^2... or just the number of values in your array,
//note that we never modify it except at the end (just for sorting
//and testing purposes).
#define N2 1000000
//Number of elements in the histogram. Must be >2
#define HISTN 1000
double findmedian (double *values, double min, double max);
int getindex (int *hist);
void put (int *hist, double min, double max, double val, double delta);
int main ()
{
//Set max and min to the max/min values your array variables can hold,
//calculate it, or maybe we know that they are bounded
double max=1000.0;
double min=0.0;
double delta;
double values[N2];
int hist[HISTN];
int ind;
double median;
int iter=0;
//Initialize with random values
srand ((unsigned) (time(0)));
for (int i=0; i<N2; ++i)
values[i]=((double)rand()/(double)RAND_MAX);
double imin=min;
double imax=max;
clock_t begin=clock();
while (1) {
iter++;
for (int i=0; i<HISTN; ++i)
hist[i]=0;
delta=(imax-imin)/HISTN;
for (int j=0; j<N2; ++j)
put (hist, imin, imax, values[j], delta);
ind=getindex (hist);
imax=imin;
imin=imin+delta*ind;
imax=imax+delta*(ind+1);
if (hist[ind]==1 || imax-imin<=DBL_MIN) {
median=findmedian (values, imin, imax);
break;
}
}
clock_t end=clock();
std::cout << "Median with our algorithm: " << median << " - " << iter << "iterations of the algorithm" << std::endl;
double time=(double)(end-begin)/CLOCKS_PER_SEC;
std::cout << "Time: " << time << std::endl;
//Let's compare our result with the median calculated after sorting the
//array
//Should be values[(int)N2/2] if N2 is odd
begin=clock();
std::sort (values, values+N2);
std::cout << "Median after sorting: " << values[(int)N2/2-1] << std::endl;
end=clock();
time=(double)(end-begin)/CLOCKS_PER_SEC;
std::cout << "Time: " << time << std::endl;
return 0;
}
double findmedian (double *values, double min, double max) {
for (int i=0; i<N2; ++i)
if (values[i]>=min && values[i]<=max)
return values[i];
return 0;
}
int getindex (int *hist)
{
static int pd=0;
int left=0;
int right=0;
int i;
for (int k=0; k<HISTN; k++)
right+=hist[k];
for (i=0; i<HISTN; i++) {
right-=hist[i];
if (i>0)
left+=hist[i-1];
if (hist[i]>0) {
if (pd+right-left<=hist[i]) {
pd=pd+right-left;
break;
}
}
}
return i;
}
void put (int *hist, double min, double max, double val, double delta)
{
int pos;
if (val<min || val>max)
return;
pos=(val-min)/delta;
hist[pos]++;
return;
}
为了与算法结果进行比较，我还包括了中位数（排序）的天真计算。 4或5次迭代就足够了。 这意味着我们只需要从网络或硬盘读取设置4-5次。
一些结果：
N2=10000
HISTN=100
Median with our algorithm: 0.497143 - 4 iterations of the algorithm
Time: 0.000787
Median after sorting: 0.497143
Time: 0.001626
(Algorithm is 2 times faster)
N2=1000000
HISTN=1000
Median with our algorithm: 0.500665 - 4 iterations of the algorithm
Time: 0.028874
Median after sorting: 0.500665
Time: 0.097498
(Algorithm is ~3 times faster)
如果要并行化算法，每台机器可以有N个元素并计算直方图。 一旦计算出来，他们就会将它发送给主机器，这将对所有的直方图进行求和（容易，它可以非常小...算法甚至可以在2个间隔的直方图上运行）。 然后它会发送新的指令（即新的时间间隔）到从机，以便计算新的直方图。 请注意，每台机器不需要了解其他机器拥有的N个元素。
随机抽取其中的N个样本。 以恒定的概率依赖于c，该随机样本的中位数在中值的c * N个位置内。 如果你这样做了两次，那么以不变的概率，你将中位数的可能位置缩小到线性许多。 做你喜欢的任何可怕的事情来选择适当等级的元素。
如果你认为你的号码是B位二进制整数（浮点数是没关系，因为你可以排序基于标志，然后根据该指数，然后根据尾数），那么你可以在解决问题的O(N^2 B / K)时间，如果你有K处理器和N^2数字。 你基本上做二分搜索：从一个等于该范围中间的支点开始，并使用你的K处理器来计算有多少个数小于等于并大于该支点。 然后你就会知道中位数是否等于枢轴位，或者大于或小于枢轴位。 继续进行二分查找。 每个二进制搜索步骤需要O(N^2 /K)时间来遍历数字列表，从而得到O(N^2 B / K)整体运行时间。
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