使用距离矩阵来查找一组点的坐标点
给定距离矩阵和一组点，如何计算这些点的坐标？
编辑：这是在飞机上。
这个问题在这里得到了回答，但是在尝试不同的距离矩阵时，我真的无法使用这个答案，因为M矩阵具有负值，就像我的特征向量一样。 所以当你取平方根时，程序（在R中）为那些相关的条目输出“NaN”。 我猜测每次D（i，j）^ 2大于D（1，j）^ 2 + D（i，1）^ 2时都会发生这种情况。
例如，假设我有一个距离矩阵：
0 73 102 496 432 184
73 0 303 392 436 233
102 303 0 366 207 353
496 392 366 0 172 103
432 436 207 172 0 352
184 233 353 103 352 0
使用等式M（i，j）=（0.5）（D（1，j）^ 2 + D（i，1）^ 2 -D（i，j）^ 2） ）：
0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
0 5329.0 -38038.0 48840.5 928.5 -7552.0
0 -38038.0 10404.0 61232.0 77089.5 -40174.5
0 48840.5 61232.0 246016.0 201528.0 134631.5
0 928.5 77089.5 201528.0 186624.0 48288.0
0 -7552.0 -40174.5 134631.5 48288.0 33856.0
然后我得到非零特征值和特征向量：
477718.27 101845.63 16474.30 -13116.72 -100692.49
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
0.00000000 0.0000000 0.00000000 0.00000000 0.00000000
-0.05928626 0.3205747 0.84148945 0.04869546 -0.42806691
-0.16650486 -0.5670946 -0.04507520 -0.58222690 -0.55647098
-0.73371713 0.2827320 0.07386302 -0.45957443 0.40627254
-0.59727407 -0.4623603 0.07806418 0.64968004 -0.03617241
-0.27144823 0.5309625 -0.52755471 0.15920983 -0.58372335
由于同时存在负特征值和特征向量，当我们计算sqrt（特征向量（i）*特征值（i））时，我们会得到负值。 这是我的最终成果：
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
0 0.0000 0.00000 0.00000 0.00000
NaN 180.6907 117.74103 NaN 207.61291
NaN NaN NaN 87.38939 236.71174
NaN 169.6910 34.88326 77.64089 NaN
NaN NaN 35.86158 NaN 60.35139
NaN 232.5429 NaN NaN 242.43877
这是不使用角度计算坐标点的唯一明确方法吗？ 如果是，我们是否必须修正距离矩阵，使得D（i，j）^ 2不大于D（1，j）^ 2 + D（i，1）^ 2。
谢谢。
您的数据不一致
您的坐标与ℝ4中的点位置不一致，更不用说维度较低的空间。 您可以通过计算平方距离矩阵的Menger行列式来说明这一事实：
D <- as.matrix(read.table(textConnection("
0 73 102 496 432 184
73 0 303 392 436 233
102 303 0 366 207 353
496 392 366 0 172 103
432 436 207 172 0 352
184 233 353 103 352 0")))
n <- nrow(D)
det(rbind(cbind(D^2, 1), c(rep(1, n), 0)))
# Result: 3.38761e+25
如果你的坐标真的来自维度小于5的空间中的点，那么这个行列式将不得不为零。 事实并非如此，你的距离是不一致的，或者这些点在维度足够高的空间中形成一个单纯形。
但是不管维度如何，你的数据仍然不一致，因为它在几种情况下违反了三角不等式：
a b c ac abc ab bc
1 2 4: 496 > 465 = 73 + 392
1 3 4: 496 > 468 = 102 + 366
1 3 5: 432 > 309 = 102 + 207
1 6 4: 496 > 287 = 184 + 103
2 1 3: 303 > 175 = 73 + 102
2 6 4: 392 > 336 = 233 + 103
3 1 6: 353 > 286 = 102 + 184
5 4 6: 352 > 275 = 172 + 103
直接从a到c永远不会比通过b经历更长的时间，但是根据您的数据它可以。
简单的平面方法
如果您的数据与平面中的点一致（即四个点的组合的所有Menger决定因素评估为零），则可以使用以下内容获取坐标：
distance2coordinates <- function(D) {
n <- nrow(D)
maxDist <- which.max(D)
p1 <- ((maxDist - 1) %% n) + 1
p2 <- ((maxDist - 1) %/% n) + 1
x2 <- D[p1, p2]
r1sq <- D[p1,]^2
r2sq <- D[p2,]^2
x <- (r1sq - r2sq + x2^2)/(2*x2)
y <- sqrt(r1sq - x^2)
p3 <- which.max(y)
x3 <- x[p3]
y3 <- y[p3]
plus <- abs(D[p3,]^2 - (x3 - x)^2 - (y3 - y)^2)
minus <- abs(D[p3,]^2 - (x3 - x)^2 - (y3 + y)^2)
y[minus < plus] <- -y[minus < plus]
coords <- data.frame(x = x, y = y)
return(coords)
}
这个想法是，你选择两个距离最远的点作为起点。 你放在原点上，另一个放在正X轴上。 然后你可以根据这个公式计算所有其他的x坐标，作为两个圆的交点
I: x² + y² = r₁²
II: (x - x₂)² + y² = r₂²
I-II: 2*x*x₂ = r₁² - r₂² + x₂²
给定这些x坐标，您也可以获得y坐标，直到签名。 然后选择距离这两个起点足够远的第三个点来决定标志。
这种方法根本不会尝试处理不精确的输入。 它假定确切的数据，并且将仅使用部分距离矩阵来查找点。 它不会找到最接近所有输入数据的点集。
在你的数据上，这将失败，因为平方根的一些参数将是负面的。 这意味着所涉及的两个圆并不相交，因此违反了三角不等式。
如果是，我们是否必须修正距离矩阵，使得D（i，j）^ 2不大于D（1，j）^ 2 + D（i，1）^ 2。
D（i，j）≤D（i，k）+ D（k，j）对于所有三元组和无正方形都有帮助。 这将确保三角不等式在任何地方都成立。 结果仍然不需要是平面的; 因为你必须修复所有那些Menger决定因素。
这是一个简单的python函数来计算你需要的，解决hyperspheres。
import sympy
import numpy as np
def give_coords(distances):
"""give coordinates of points for which distances given
coordinates are given relatively. 1st point on origin, 2nd on x-axis, 3rd
x-y plane and so on. Maximum n-1 dimentions for which n is the number
of points
Args:
distanes (list): is a n x n, 2d array where distances[i][j] gives the distance
from i to j assumed distances[i][j] == distances[j][i]
Returns:
numpy.ndarray: cordinates in list form n dim
Examples:
>>> a = sympy.sqrt(2)
>>> distances = [[0,1,1,1,1,1],
[1,0,a,a,a,a],
[1,a,0,a,a,a],
[1,a,a,0,a,a],
[1,a,a,a,0,a],
[1,a,a,a,a,0]]
>>> give_coords(distances)
array([[0, 0, 0, 0, 0],
[1, 0, 0, 0, 0],
[0, 1, 0, 0, 0],
[0, 0, 1, 0, 0],
[0, 0, 0, 1, 0],
[0, 0, 0, 0, 1]], dtype=object)
>>> give_coords([[0, 3, 4], [3, 0, 5], [4, 5, 0]])
array([[0, 0],
[3, 0],
[0, 4]], dtype=object)
"""
distances = np.array(distances)
n = len(distances)
X = sympy.symarray('x', (n, n - 1))
for row in range(n):
X[row, row:] = [0] * (n - 1 - row)
for point2 in range(1, n):
expressions = []
for point1 in range(point2):
expression = np.sum((X[point1] - X[point2]) ** 2)
expression -= distances[point1,point2] ** 2
expressions.append(expression)
X[point2,:point2] = sympy.solve(expressions, list(X[point2,:point2]))[1]
return X
这是可以解决的
如果您希望看到满足您在问题中提供的距离矩阵的笛卡尔坐标系，请查看以下图像。
距离矩阵和坐标您的输入矩阵给出了我们称之为a，b，c，d，e和f的6个节点之间的距离。 总共需要5个维度才能将坐标分配给满足距离矩阵的所有六个节点。 其中两个维度是虚值 - 这是违反三角规则的结果。 结果是通过使用余弦定律和一些数字运算得出的。
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