用MATLAB找出三角函数的Minimax多项式逼近
我试图用MATLAB中的remez交换算法找到正弦和余弦的最小多项式近似。 由于我正在为IEEE-754浮点实现正弦和余弦函数，因此需要精确到23位。
在这里使用这个链接（参考第8页到第15页），给出了使用Mathematica和Maple查找多项式的说明，但是我不确定如何推断这些MATLAB的方法。
根据表3，我需要使用5或6阶多项式来获得〜23位（小数点后）的精度。
我打算首先将所有进入的theta的范围缩小到-pi / 4到+ pi / 4之间，然后根据需要执行正弦或余弦函数（最终目标是实现exp（i * x）= cos x）+ i * sin（x）。
我可能会自己按照本文的说明操作，但我不知道如何在这里使用remez函数来达到我的目的。 另外，我没有关注为什么作者使用方程（6）（第9页），也不知道k的方程（第11页）是如何确定的（2796201是从哪里来的？），为什么定义形式的多项式，我们希望最终变化为sin9x）= x + kx ^ 3 + x ^ 5 * P（x ^ 2）。
使用firpm函数会更好吗（因为remez已被弃用）？
非常感谢您的帮助和指导，以及对我的问题进行编辑以确保可能的最佳答案。
我不打算试图开发你自己的近似值。 更简单的是拿起一份“计算机近似”，Hart等人。 一个好的大学图书馆应该有它。 23位是大约7位十进制数字，所以只需选择一个近似值即可获得所需的精度。 你可以选择一个简单的多项式近似，或者使用一个有理多项式，通常稍微好一点，只要你可以容忍除法。
减少范围确实有意义，事实上，我在我自己的工具中选择了相同的范围（+/- pi / 4），因为此范围选择特别容易处理。
编辑:(使用Hart可以找到的近似值的例子）
在这里，我会找到sin（x）的近似值，其中x位于区间[0，pi / 4]中。 我的目标是在该区间内选择绝对精度至少为1.e-7的近似值。 当然，如果你对x有负值，我们知道sin（x）是一个奇函数，所以这是微不足道的。
我注意到Hart中的近似值倾向于sin（alphapix），其中x位于区间[0,1]中。 如果我然后选择α= 1/2的近似值，我会得到一个在选定区间内有效的近似值。 因此，对于区间[0，pi / 4]的近似值，我们寻找alpha = 1/4。
接下来，我寻找一个近似值，表明绝对精度至少为7位数，我宁愿使用有理多项式近似值，因为它们往往更有效一些。 扫描第118页的表格（我的Hart的副本是从1978年开始的），我找到了一个近似值，alpha = 1/4，符合法案：索引3060。
这种近似将是形式
sin(alpha*pi*x) = x*P(x^2)/Q(x^2)
因此，现在我选择页面，给出SIN 3060的系数。在我的副本中，它位于199-200页。 有5个系数，P00，P01，P02，Q00，Q01。 （注意这里使用的有些非标准的科学记数法。）因此，P（分子多项式）有3项，而Q（分母有2项）。 写出来，我得到这个：
sin(alpha*pi*x) = (52.81860134812 -4.644800481954*x^3 + 0.0867545069521*x^5)/ ...
(67.250731777791 + x^2)
让我们现在在MATLAB中尝试它。
x = linspace(0,pi/4,10001);
xt = x*4/pi; % transform to [0,1]
sine = @(x) (52.81860134812*x -4.644800481954*x.^3 + ...
0.0867545069521*x.^5)./(67.250731777791 + x.^2);
max(abs(sin(x) -sine(xt)))
ans =
1.6424e-09
plot(x,sin(x)- sine(xt),'-')
![[0，pi / 4]上的sin近似的误差](http://www.djcxy.com/uploads/images/8f/e9/8fe9aff067b74619527b769ec4ceaebd.jpg)
请注意附加到y轴的1e-9。
看起来这是在特定的时间间隔内对sin（x）进行近似的最合理的选择，尽管这给出了大约29位的精确度，而不是你要求的23位。 如果你愿意选择一个不同的范围缩减间隔，有几个选择可以节省一个术语，可能需要几个比特的费用，而你不需要。
log2(max(abs(sin(x) -sine(xt))))
ans =
-29.182
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