正弦多项式逼近中的这些系数如何确定？
背景：我正在用Java写几个几何软件。 我需要Java的BigDecimal类提供的精度。 由于BigDecimal不支持trig函数，我想我会看看Java如何实现标准的数学库方法并使用BigDecimal支持编写我自己的版本。
通过阅读这个JavaDoc，我了解到，Java使用来自知名网络库netlib的算法作为包“自由分布式数学库”fdlibm。这些算法用C编程语言编写，然后被理解为执行所有的浮点运算遵循Java浮点运算的规则。“
我的问题 ：我查了一下fblibm的sin函数k_sin.c，看起来他们使用一个阶13的泰勒级数来近似正弦（编辑 - njuffa评论说fdlibm使用最小多项式近似）。 该代码将多项式的系数定义为S1至S6。 我决定检查这些系数的值，发现S6只对一个有效数字是正确的！ 我期望它是1 /（13！），Windows Calculator和Google Calc告诉我的是1.6059044 ... e-10，而不是1.58969099521155010221e-10（这是代码中S6的值）。 即使S5不同于1 /（11！）的第五位数字。 有人可以解释这种差异吗？ 具体来说，这些系数（S1到S6）是如何确定的？
/* @(#)k_sin.c 1.3 95/01/18 */
/*
* ====================================================
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*
* Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
* Permission to use, copy, modify, and distribute this
* software is freely granted, provided that this notice
* is preserved.
* ====================================================
*/
/* __kernel_sin( x, y, iy)
* kernel sin function on [-pi/4, pi/4], pi/4 ~ 0.7854
* Input x is assumed to be bounded by ~pi/4 in magnitude.
* Input y is the tail of x.
* Input iy indicates whether y is 0. (if iy=0, y assume to be 0).
*
* Algorithm
* 1. Since sin(-x) = -sin(x), we need only to consider positive x.
* 2. if x < 2^-27 (hx<0x3e400000 0), return x with inexact if x!=0.
* 3. sin(x) is approximated by a polynomial of degree 13 on
* [0,pi/4]
* 3 13
* sin(x) ~ x + S1*x + ... + S6*x
* where
*
* |sin(x) 2 4 6 8 10 12 | -58
* |----- - (1+S1*x +S2*x +S3*x +S4*x +S5*x +S6*x )| <= 2
* | x |
*
* 4. sin(x+y) = sin(x) + sin'(x')*y
* ~ sin(x) + (1-x*x/2)*y
* For better accuracy, let
* 3 2 2 2 2
* r = x *(S2+x *(S3+x *(S4+x *(S5+x *S6))))
* then 3 2
* sin(x) = x + (S1*x + (x *(r-y/2)+y))
*/
#include "fdlibm.h"
#ifdef __STDC__
static const double
#else
static double
#endif
half = 5.00000000000000000000e-01, /* 0x3FE00000, 0x00000000 */
S1 = -1.66666666666666324348e-01, /* 0xBFC55555, 0x55555549 */
S2 = 8.33333333332248946124e-03, /* 0x3F811111, 0x1110F8A6 */
S3 = -1.98412698298579493134e-04, /* 0xBF2A01A0, 0x19C161D5 */
S4 = 2.75573137070700676789e-06, /* 0x3EC71DE3, 0x57B1FE7D */
S5 = -2.50507602534068634195e-08, /* 0xBE5AE5E6, 0x8A2B9CEB */
S6 = 1.58969099521155010221e-10; /* 0x3DE5D93A, 0x5ACFD57C */
#ifdef __STDC__
double __kernel_sin(double x, double y, int iy)
#else
double __kernel_sin(x, y, iy)
double x,y; int iy; /* iy=0 if y is zero */
#endif
{
double z,r,v;
int ix;
ix = __HI(x)&0x7fffffff; /* high word of x */
if(ix<0x3e400000) /* |x| < 2**-27 */
{if((int)x==0) return x;} /* generate inexact */
z = x*x;
v = z*x;
r = S2+z*(S3+z*(S4+z*(S5+z*S6)));
if(iy==0) return x+v*(S1+z*r);
else return x-((z*(half*y-v*r)-y)-v*S1);
}
我们可以使用trig标识将所有内容都降到0≤x≤π/ 4，然后需要一种方法来近似于该间隔内的sin x。 在0≤x≤2-27时，我们可以坚持sin x≈x（泰勒多项式也给出，在双倍的容差范围内）。
不使用泰勒多项式的原因在算法评论的步骤3中。 泰勒多项式给出了接近于零的（可证明的）准确度，但是随着离开零点而降低准确度。 当你达到π/ 4时，第13阶泰勒多项式（除以x）与（sin x）/ x相差3e-14。 这比fblibm的2-58的错误要糟得多。 为了使泰勒多项式准确，你需要去（π/ 4）n-1 / n！ <2-58，这又需要2或3个术语。
那么为什么fblibm的准确度是2-58？ 因为它超过了双精度（它的尾数只有52位）的容差。
但在你的情况下，你需要任意多的sin x。 要使用fblibm的方法，只要您想要的精度发生变化，就需要重新计算系数。 你最好的办法似乎是坚持泰勒多项式为0，因为它非常容易计算，并且采用条件直到（π/ 4）n-1 / n！ 满足您所需的准确性。
njuffa有一个使用身份进一步限制你的域名的有用想法。 例如， sin(x) = 3*sin(x/3) - 4*sin^3(x/3) 。 使用它可以让你的域限制为0≤x≤π/ 12。 你可以使用它两次来限制你的域为0≤x≤π/ 36。 这样做可以让你的泰勒展开更快地达到你想要的精度。 而不是试图为（π/ 4）n-1 / n！获得一个任意精确的π值，我建议将π四舍五入到1 / n！ 满足您所需的准确度（或者3-n / n！或9-n / n！如果您使用过一次或两次的触发身份）。
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